正定矩阵举例　对称矩阵举例

正定矩阵举例

1、什么叫正定矩阵？例如：^证明：因为A，B正定，所以 A^T=A，B^T=B (必要性) 因为AB正定，所以 (AB)^T=AB 所以 BA=B^TA^T=(AB)^T=AB (充分性) 因为 AB=BA 所以 (AB)^T=B^TA^T=BA=AB 所以 AB 是对称矩阵 由A，B正定， 存在可逆矩阵P，Q使 A=P^TP，B=Q^TQ。故 AB = P^TPQ^TQ 而 QABQ^。

2、什么叫正定矩阵。例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。对称正定矩阵 设，若，对任意的，都有，则称A为对称正定矩阵。

3、关于矩阵正定性的判定。例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）。狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。

4、什么叫正定矩阵举例。正定矩阵是指对任何非零向量z，都有zMz＞0的矩阵正定矩阵在合同变换下可化为标准型，即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。正定矩阵一定是非奇异的，且任一主子矩阵也是正定矩阵。任意一个向量x，跟他垂直的超平面把空间分成两部分，一部分和x在同一侧，即满足和x的。

5、正定矩阵的判定方法。正定矩阵的判定方法如下：1、矩阵是几阶，就求几个顺序主子式，并得到相应的值，如果所有值都大于0，则该矩阵是正定矩阵。顺序主子式定义如使用方法举例：判断三阶矩阵是否为正定矩阵，需要求出三个顺序主子式的值，并分别和0进行比较，若都为正数，则矩阵是正定矩阵。2、判别依据：求出矩阵A的所有。

对称矩阵举例

1、什么是正定矩阵？例如：A=[1 1；-1，1]这个矩阵满足对于任意实非零向量向量x=(x1，x2)，有x^TAx>0，因此是正定的。如果一个矩阵A是正定的，那么对称矩阵B=(A+A^T）/2也是正定的，这是判定一个实系数矩阵是否为正定矩阵的充要条件。对于任意对称矩阵B，我们可以对其进行卡氏分解。（请自行证明）对于复系数矩阵。

2、什么是正定矩阵，正交矩阵。在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为。

3、举个对称正定矩阵的例子。最简单的例子：单位矩阵 E＝ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 单位矩阵就是对称正定矩阵。证明也很简单，对于任一个非零向量X，都有X‘EX=X’X＝|X|^2>0，只有当X=0向量时，X‘EX才等于0，所以是正定矩阵。如果想找一个复杂点的，那用任意一个3阶可逆矩阵A，让它与它的转置矩阵A’相乘，得到的。

4、什么叫正定矩阵。正交矩阵通常用字母Q表示。举例：A=[r11 r12 r13；r21 r22 r23；r31 r32 r33]则有：r11^2+r12^2+r13^2=r21^2+r22^2+r23^2=r31^2+r32^2+r33^2=1 r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性质 广义定义 设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有 z‘Mz > 0，其中z’ 表示z的转置，就称M。

5、正定矩阵的问题。AB不一定是正定矩阵，因为对称性就不能保证 A=[1 1； 1 2] B=[1 -1；-1 2]AB=[0 1；-1 3]